Newton-Raphson Yöntemi

Giriş

Adını Isaac Newton ve Joseph Raphson’dan alan yöntem, Newton Yöntemi olarak da bilinir.

Herhangi bir denklemde y=0 yapan bilinmeyen değişkeni bulmak için kullanılan Newton-Raphson Yöntemi’ni uygulayabilmek için türevin bilinmesi gerekir. Burada yöntemin temeli anlatılarak nasıl işlediği izah edilecektir.

Elinizdeki denklemde f(x)=0 yapan x değer ve/veya değerlerini arıyor iseniz bu yöntemi kullanmanızı tavsiye ederim. İzahtan sonrada göreceğiniz gibi yöntem sizi kısa yoldan f(x)=0’a götürecektir. Öncelikle türevin ne olduğunu hatırlayalım. Türev, eğriye teğet geçen doğrunun x ekseni ile yaptığı açıyı veya diğer bir ifade ile eğimi veren işlemdi. Şimdi rastgele bir denklem yazıyor ve konuyu anlatabilmem için denklemin eğrisini çiziyorum. Bu eğride y=0 yapan x’i bulmak için herhangi bir x değeri seçerek o noktadaki türevini alıyorum.

Yukarıda f(x)=3x²+12x+7 denkleminin eğrisi ve herhangi bir x değeri olarak 4 değerinin kullanıldığı görülmektedir. Resimde gördüğünüz üçgenin hipotenüsü x₁ noktasının (resimde x₁=4’ün) eğimidir.
Bu yöntemde başlangıç değeri olarak seçtiğimiz x₁ noktasının türevi [f(x₁) / t] ‘ yi verir. Türevin eğim olduğunu hatırlayınız veya türev ile ilgili konu anlatımına bakınız. Görüldüğü gibi eğimin kestiği x₂ değeri y=0 yapan x’e yaklaşmaktadır.

Eğer x₂‘yi başlangıç değeri yaparsak x₃‘ü elde ederiz ki y=0 yapan x’e daha da yaklaşırız. Yöntemin güzel tarafı x’e büyük adımlar ile hızlıca yaklaşmamızdadır. Burada [x₂=x₁-t] ‘dir. t ise [f(x₁) / f ^ı(x₁)] ‘dir

Zira f(x₁)’in türevi [ f(x₁) / t ] ‘dir. Dolayısıyla
f(x₁) / f ^ı(x₁) ifadesinde f ^ı(x₁) yerine f(x₁) / t yazdığımızda f(x₁)* t / f(x₁) olur ve bu işlemin sonucu t’dir.

x₂‘yi bulduktan sonra bu değeri başlangıç alırız ve x₃‘ü buluruz.

Bu süreç y=0 yapan değere kadar devam edilir. Her denklemde y=0 yapan net değeri aramak yerine y=0,000 gibi binde bir hassasiyetli (0,00023 , 0,0001 , -0,0004 vs.) sonuçları yeterli görebiliriz.