Ahmes (Mısır, Mö 1680-Mö 1620) Ve Rhind Papirüsü
Ahmes, bilinen ilk matematikçilerden biridir. Rhind Papirüsü olarak bilinen ve aşağıda bir kısmı görülen ilk matematiksel belgelerden birinin Mısırlı kâtibidir.
İçerik Prof. Dr. İsmail Naci Cangül’ün Matematik Tarihi’nden alıntıdır.
Bu belgeye Rhind papirüsü adı verilmesinin sebebi, Mısır Bilimi üzerine çalışan İskoçyalı bilim adamı Alexander Henry Rhind’dir. Rhind, sağlık sorunları sebebiyle Thebes’e gitmiş, orada bulunduğu sürede arkeolojiye ve kazılara merak salmış, ve 1858’de papirüsü Mısır’da satın almıştır. Ahmes, sadece papirüsün kâtibi olduğunu, içindekilerin kendi bilgileri olmadığını, MÖ 1800’lü yıllardan kaldığını iddia etse de bunun doğru olduğuna dair hiçbir kayıt yoktur. Hatta papirüsün MÖ 1650’lerdeki 12. krallık döneminden kaldığına dair ipuçları da bulunmaktadır.
RHIND PAPİRÜSÜ
Rhind Papirüsü, dört işlem, denklem çözümleri, sayı dizileri, piramitlerin ölçüleri, yem depolarının hacimleri, üçte iki kuralı gibi konularla ilgili 87 adet problem ile çözümlerini ve Mısır kesirleri ile ilgili bazı tabloları içermekteydi. 6 metre uzunlukta ve 1/3 metre genişliğindeki bu papirüs, 1863’te British Museum’a konulmuştur.
Mısır matematiğinde, dönemin Yunan matematiğinden farklı olarak, soyut düşünceden çok pratik uygulamalar yer alıyordu. Nil nehrinin akışını düzenlemek, piramitlerin yapımı, gemicilik, ticaret gibi sebeplerle uygulamalı matematik çok popülerdi. Sayı sistemi olarak Romalıların da kullandığı onlu sistemi kullanıyorlardı. 10’dan büyük her 10’lu birim için özel simgeler kullanıyorlardı. Bu sistemi kullanan Mısırlılar, çarpmayı, ardışık toplamalara dönüştüren, toplama ağırlıklı bir aritmetik geliştirdiler. Örneğin bir sayıyı 14 ile çarpmak için ayrı ayrı 8, 4 ve 2 ile çarparak çıkan sonuçları topluyorlardı. Buna göre 17’yi 14 ile çarpmak için aşağıdaki işlemler yapılıyordu:
2 . 17 = 34
4 . 17 = 68
8 . 17 = 136
ve böylece
14 . 17 = 238
elde ediliyordu. Benzer olarak 59’u 41 ile çarpmak için
1 . 59 = 59
2 . 59 = 118
4 . 59 = 236
8 . 59 = 472
16 . 59 = 944
32 . 59 = 1888
işlemleri yapılırdı. Burada 41 = 32 + 8 + 1 olduğu kullanılarak karşılık gelen satırların toplanmasıyla
41 . 59 = 1888 + 472 + 59 = 2419
bulunurdu. Burada 32, 8 ve 1 in gerektiği şu şekilde belirlenirdi:
41’in içinde bulunan 2’nin kuvvetleri en büyükten başlanarak ve 0 kalana kadar 41’den atılır:
41 – 32 = 9
9 – 8 = 1
1 – 1 = 0
Bölme işlemi de benzer şekilde yapılmaktaydı. Örneğin 1495’i 65’e bölmek için aşağıdaki işlemler yapılırdı:
1 . 65 = 65
2 . 65 = 130
4 . 65 = 260
8 . 65 = 520
16 . 65 = 1040
Bu noktada çarpmalara devam edilmesine gerek yoktur. Çünkü 1495’i geçeriz. Şimdi sağdaki sayılardan toplamı 1495 edenleri belirlemeliyiz. Bunun için 1495’ten elde edilen çarpımları büyükten başlayarak sırayla çıkarırız:
1495 – 1040 = 1495 – 16 . 65 = 455,
455 – 260 = 455 – 4 . 65 = 195,
195 – 130 = 195 – 2 . 65 = 65,
65 – 65 = 65 – 1 . 65 = 0
olduğundan 1495’in 65 ile bölümünden 16 + 4 + 2 + 1 = 23 bulunur.
Tam bölme söz konusu değilken de aynı işlem yapılabiliyordu. Örneğin 1500’ü 65 ile bölmek istediğimizde
1500 – 1040 = 460,
460 – 260 = 200,
200 – 130 = 70,
70 – 65 = 5
bulunur. Yukardakine benzer şekilde sonucun tam kısmının 23 olduğu ve 5 arttığı görülür. Bu yüzden sonuç 23 5/63= 23 1/13 olarak belirlenir.
Mısır matematiğinin en önemli tarafı kesirlerle yapılan hesaplamalardaki uzmanlıklarıdır. Bütün kesirler payı bir olan ve birim kesir denilen kesirlerin toplamı şeklinde yazılabiliyordu. Bunlara Mısır kesirleri de denilmektedir. Birim kesirler yazım kolaylığı açısından paydadaki sayının üzerine bir çizgi çekilerek ifade ediliyordu. Örneğin, 1/10 yerine 10 yazılıyordu. Birim kesirler dışında müsaade edilen tek kesir 2/3’tü. Bunun neden kullanıldığı ile ilgili kesin bir bilgi yoktur. Ancak yine de çeşitli mantıklı iddialar ortaya atılmıştır. Bunlardan ilkine göre birim kesirler dışında bir kesirin kullanılmayışının sebebi gösterim zorluğuydu. Her bir birim kesir az önce de belirtildiği gibi kesir şeklinde değil paydadaki sayının üzerine bir çizgi çizilerek gösteriliyordu. Diğer kesirlere karşılık gelen bir gösterim yoktu ve yeni bir şey icat etmek her zaman olduğu gibi zordu. İkinci iddiaya göre birim kesirler, Mısırlıların kullandığı bölme metodunun bir sonucuydu.
Sonuncu iddiaysa, Dominic Alivastro’ya aittir. Bu iddia, Ahmes’in yazdığı ve 3 ekmeğin 5 kişiye en eşit şekilde dağıtılmasından bahseden probleme dayanmaktadır. Günümüzde böyle bir sorunun cevabı her birinin bir ekmeğin 3/5’ini alacağı şeklindedir. Beş çocuğa 3 ekmeği paylaştırmaya kalktığınızda, ilk olarak her bir ekmeği 3/5 ve 2/5 oranında iki parçaya ayırırız ve 3/5’lik birer parçayı 3 çocuğa dağıtırız. Geriye kalan üç adet 2/5’lik parçadan birini ikiye bölerek iki tane 1/5’lik parça elde ederiz. Sonra da kalan iki çocuğa birer 1/5’lik parça ve birer 2/5’lik parça veririz. Böylece her birine eşit ekmek vermiş oluruz. Ancak bazı çocuklar, diğerlerinde daha büyük bir parça olduğu için, bazıları da diğerlerinde iki parça birden olduğu için itiraz edeceklerdir. Ancak Ahmes’in de yazdığı gibi, 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15 olduğundan her bir çocuğa 1/3’lük, 1/5’lik ve 1/15’lik üç parça verildiğinde her çocuk eşit pay aldığına inanacaktır.
Rhind Papirüsünde n’in 5 ile 101 arasındaki tek sayı değerleri için 2/n kesrinin birim kesirlere ayrıştırılması listelenmiştir. Örnek olarak;
2/5=1/3+1/15
2/59=1/36+1/236+1/351
ve
2/7=1/4+1/28
verilebilir.
Papirüsteki listede hiç hata olmayışı etkileyicidir. Birim kesirlere ayrıştırmanın nasıl yapıldığına dair çeşitli iddialar vardır. Ayrıca 2/n şeklindeki birçok kesir birden fazla şekilde birim kesirlerin toplamı olarak yazılabilir. Örneğin,
2/19=1/12+1/57+1/220
veya
2/19=1/12+1/76+1/114
yazılabilir. Ancak Rhind Papirüsünde neden bunlardan ikincisinin kullanıldığı hala anlaşılamayan noktalardan birisidir. Bu problemle ilgili bazı iddialar, paydası küçük olana, en az sayıda birim kesir içerene, paydası çift sayı olanlara (bunun sebebini aşağıda 21. problemin çözümünde anlayacağız) öncelik verildiği şeklindedir.
Rhind Papirüsünde yer alan bu tablonun nasıl kullanıldığını yine bu Papirüsteki 21. problemin incelenmesinden anlayabiliriz.
Problem 21. 2/3 ile 1/15’i 1 e tamamlayınız.
Modern terminolojide bu,
2/3+1/15+x=1
denkleminin çözümü olacak x kesrinin bulunması problemine dönüşür. Çözüm metodu, uygun bir sayıyla çarparak (bir nevi payda eşitleyerek) kesirlerin paydalarından kurtulmakla başlar. Bu örnekte de tüm ifadeleri 15 ile çarparak
10 + 1 + y = 15
eşitliği elde edilir.
Tabii, yine bu eşitlik o zamanki şekliyle “10 ve 1’i 15’e tamamlayınız” şeklindeydi. Bu son eşitlik Rhind papirüsüne kırmızı mürekkeple yazılmış olduğundan “kızıl ek denklem” olarak anılmaktadır. Tabii ki çözümü de 4’tür. O halde aranan x kesiri 1/15 birim kesirinin iki katının iki katına (dört katına) eşit olacaktır. Bu noktada papirüsteki tabloya gerek duyulur. 1/15’in iki katı, yani 2/15, tablodan
2/15=1/10+1/30
olarak alınır. Böylece sonuçta 2/15’in iki katı,
2/10+2/30=1/5+1/15
olarak elde edilir. Bu da aranan x kesrinin birim kesirlerin toplamı şeklindeki eşitidir.
Birim kesirlerin kullanımına bir başka örnek de bu papirüsteki 24. problemdir.
Problem 24. Çeyreği kendisine eklendiğinde 15 olan sayı nedir?
Ahmes, bu problemin çözümünde “deneme-yanılma” denilen ve günümüzde halen kullanılan bir metodu kullanmıştır. Modern gösterimde, verilen problem
x+x/4=15
olacak şekilde bir x sayısının bulunması problemidir. Ahmes, ilk olarak paydadaki 4’ü yok etmek amacıyla çözümün 4 olduğunu tahmin etmiştir. Bu tahminin doğruluğunu denediğinde ise x = 4 için x+x/4 ifadesinin aldığı değerin 5 olduğunu ve verilen 15 sayısına eşit olmadığını gözlemlemiştir. Ancak 15, bulunan 5’in 3 katı olduğundan çözümün de, denenen 4 sayısının 3 katı olabileceği tahmininde bulunmuş, bu yolla 12 sayısını elde etmiştir. Bu çözümü denediğinde ise x+x/4 sayısının gerçekten de istenildiği gibi 15’e eşit olduğunu görmüş ve çözümün 12 olduğunun sağlamasını da yapmıştır.
Deneme-yanılma metodu Rhind papirüsündeki 24 – 29. problemlerde kullanılmıştır. Ancak 31. problemde Ahmes “bölme” metodunu kullanmıştır:
Problem 31. 1+1/3+1/5 sayısının 30+1/3 ile çarpımını bulalım.
Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi
1.(1+1/3+1/5 ) = 1+1/3+1/5
2.(1+1/3+1/5 ) = 2+2/3+1/3+1/15= 3+1/15
4.(1+1/3+1/5 ) = 6+1/10+1/30
8.(1+1/3+1/5 ) = 12+1/5+1/15
16.(1+1/3+1/5 ) = 24+1/3+1/15+1/10+1/30
2/3.(1+1/3+1/5 ) = 2/3+1/6+1/18+1/10+1/30
1/3.(1+1/3+1/5 ) = 1/3+1/12+1/36+1/20+1/60
elde edilir. Burada sondan ikinci satırda, 1’in 2/3 katı olan 2/3, 1/3 ’ün 2/3 katı olan 2/9=1/6+1/18 ve 1/5’in 2/3 katı olan 2/15=1/10+1/30 kesirleri yer almaktadır. Bundan sonra papirüste soldaki sayılardan toplamı 30+1/3 olanlar belirlenmiştir. Bunlar 2., 3., 4., 5. ve sonuncu satırdakilerdir. O halde aranan sonuç, bu satırlarda sağ taraftaki sayıların toplamıdır. Yani aranan çarpım sonucu,
46+1/5+1/10+1/12+1/15+1/30+1/36
olarak bulunmuştur.
Rhind papirüsü ile ilgili son bir problem daha ele alacağız. Bu problemde 3700 yıl önce π sayısının ne şekilde ve ne kadar yakın bir değerinin bulunduğunu göreceğiz.
Problem 50. Yuvarlak bir tarlanın çapı 9 ise alanı nedir?
Ahmes şu çözümü vermiştir:
Çaptan, çapın dokuzda birini çıkarın. Bu örnekte çıkarılacak sayı 1 olup kalan 8 dir. Bunu kendisiyle çarparak alanın 8.8 = 64 olduğu bulunmuştur.
Burada d çaplı bir dairenin alanının (d – d/9)2 olduğu tahmini kullanılmıştır.
Bugünkü bilgilerimize göre d çaplı bir dairenin alanı π(d/2)2 olduğundan Ahmes’in bulduğu sonuçla karşılaştırıldığında
64d2/81 = πd2/4
bulunur. Gerekli sadeleştirmeler sonucunda π sayısının o zaman hesaplanan yaklaşık değeri,
π = 256/81= 3.1605
şeklinde bulunur. Bu da 3700 yıl öncesi düşünüldüğünde oldukça iyi bir yaklaşımdır. Bu yaklaşımın nasıl elde edildiğine yönelik çeşitli iddialar vardır.
Kesirlerle yapılan bu hesaplamalar, Mısır matematiğine ayrıntılı ve sıkıcı bir hava kazandırmıştır. Bütün zorluklara rağmen, Mısır kesirleriyle yapılan hesaplamalar daha sonra Eski Yunan döneminden ortaçağa kadar kullanılmaya devam etmiştir.
Rhind Papirüsünde 2/n şeklindeki kesirlerin birim kesirlerin toplamı olarak ifade edilmiş olmasını şu şekilde açıklamak mümkündür:
Mısırlılar elbette her sayının 2 nin farklı kuvvetlerinin bir toplamı olarak yazılabileceğinden haberdardılar. Bundan faydalanarak tüm kesirlerin, 2/n şeklindeki kesirlerin birim kesirlere ayrışımı bilindiğinde, birim kesirlerin toplamı olarak yazılabileceğini keşfetmişlerdi. Örneğin,
19/37=(24+21+20)/37
şeklinde yazılabildiğinden 2/37 kesrinin birim kesirlere ayrışımı bilindiğinde 19/37 kesrinin de birim kesirlere ayrışımı bulunabilirdi.
Bazı papirüslerde 2/n kesrinin nasıl birim kesirlere ayrıştırılabileceğine dair bir formül yer almaktadır:
2/p.q=1/p.(p+q)/2 +1/q.(p+q)/2
Kaynak: Prof. Dr. İsmail Naci Cangül; Matematik Tarihi; Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü; Bursa 2006 (3-11)
