Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi

Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi

28 Mart 2010 0 Yazar: İbrahim AY
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Oy verilmemiş. İlk oy veren olur musun?)
Loading...

Giriş

Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi “1 bilinmeyenli” denklemlerde y=0 yapan x değerini bulmak için kullanılan çözüm yöntemlerinden biridir.

Örneğin aşağıdaki gibi bir eğriye sahip denklemimiz olduğunu varsayalım. Resmin çok karmaşık olmaması için 1. dereceden bir eğri örneği ile konuyu anlatmaya başlayacağım. Maksadım, yöntemin mantığını izah etmek.

Çözüme başlarken tahmini olarak 2 tane x değeri belirlenir.

Dikkat edilecek husus, bu başlangıç değerlerimiz olacak olan x’ler y=0 noktasının sağında ve solunda olmalıdır. Diğer bir ifade ile x1 ve x2‘lerimizden biri y<0 diğeri y>0 yapan değerler olmalıdır.

Çözüme x1 ve x2 ile başlamıştık. y=0 için x değeri x1 ile x2 arasındadır.

x1 ile x2‘nin orta noktasında üçüncü bir x değeri olan x3‘ü belirliyoruz.

x3= (x1+x2)/2

Şu durumda y=0 yapan x değerimiz x2 ile x3 arasında kaldı.

Şimdi y=0 yapan x değerine daha da yaklaşmak için x2 ile x3 değerlerini başlangıç değerleri olarak kabul edeceğiz ve işlemi sürdüreceğiz. x2 ile x3 değerlerini seçmemizin sebebi y=0 yapan x değerinin bu iki değer arasında kalmış olmasıdır.

Şimdi x2 ile x3‘ün orta noktasından yeni bir x değeri olan x4‘ü belirliyoruz.

x4‘ten elde ettiğimiz y değeri 0’a yaklaşıyor. Şu durumda y=0 yapan x değeri x3 ile x4 arasında kaldı. Öyleyse başlangıç değerleri olarak x3 ve x4 ile devam edeceğiz.

Tekrar yeni bir x değeri olan x5‘i belirleyeceğiz.

y=0 yapan x değeri bu sefer x4 ile x5 arasında kaldı. İşlem y=0 yapan xn değerine kadar sürdürülür.

Görüldüğü gibi her iki x başlangıç değerlerimizin orta noktasındaki x değerimiz, gittikçe y=0 yapan x değerine yaklaşmaktadır. Şimdi bu işlemleri sayısal olarak yapalım.

Sayısal çalışmada bir tablo oluşturacağız:

Adım
x1
x2
(x1+x2) /2
f(x1)
f(x2)
f(x3)

y=f(x)

f(x3)=0 yapan x3 değeri y=0 yapan x değerimizdir. 1. adımda öncelikle başlangıç değerlerimiz olan x1 ve x2 belirlenir. Denklemde x1 ve x2‘lerimizden biri y<0 diğeri y>0 yapan değerler olmalıdır.

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
x1
x2
(x1+x2) /2
f(x1)<0
f(x2)>0
f(x3)

veya

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
x1
x2
(x1+x2) /2
f(x1)>0
f(x2)<0
f(x3)

1’den yüksek dereceli denklemlerde y<0 ve y yapan x’lerimizi seçerken daha hassas olacağız. Çünkü 1’den yüksek dereceli denklemlerin 1’den fazla çözüm kümesi vardır. x1 ile x2‘nin ortalamasına da (orta noktasına da) x3 diyeceğiz.(x1 ile x2 toplamının yarısı)

Denklemde (fonksiyonda) x yerine x1 değeri yazarak neticeyi tabloda f(x1) sütununa x yerine x2 yazarak f(x2)’yi x yerine x3 yazarakta f(x3)’ü yerlerine yazacağız. 1. adımımız bitmiş olacak.

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
x1
x2
(x1+x2) /2
y=f(x1)
y=f(x2)
y=f(x3)

2. adımda karşılaştırma yapacağız. y=0 yapan x değerimiz, x1 ile x3 arasında mı? x2 ile x3 arasında mı?

Örneğin aşağıdaki grafiğe baktığımızda y=0 x2 ile x3 arasındadır.

x3 değerimiz x1 ile x2 arasında bir değer olduğu için yukarıdaki önermelerden birisi muhakkak gerçekleşecektir. Yani y=0 yapan x değerimiz, x1 ile x3 arasında ya da x2 ile x3 arasında kalacaktır. Eğer y=0 yapan x değer başlangıçta alınan x1 ile x2 değerleri arasında değilse, yani x değerlerinden biri y<0, diğeri y>0 koşulunu sağlamıyorsa zaten işlemin ilk adımı yanlış başlanmıştır.

2. adımda kullanacağımız başlangıç değerimizden biri x3 olacaktır. Ancak x3‘ü x1‘in yerine mi yoksa x2‘nin yerine mi kullanacağız? Bunun için f(x)=0’ın x1 ile x3 arasında mı yoksa x2 ile x3 arasında mı olduğuna bakılarak karar verilir. Eğer f(x)=0 x1 ile x3 arasında kalmışsa, 2. adımda x1 değiştirilmez, x2 yerine x3 değerini yazarız.

Eğer f(x)=0 x2 ile x3 arasında kalmışsa, 2. adımda x2 değişmez x1 yerine x3 değerini yazarız. Diyelim ki x1 ile x3 arasında kaldı. 2. adım değerleri şöyle olur:

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
x1
x2
(x1+x2) /2
f(x1)<0
f(x2)>0
f(x3)>0
2
x1
x3
(x1+x3) /2
f(x1)
f(x3)
f(x4)

Bu belirlemeyi yapmanın birden fazla yolu vardır. Çözümün mantığını anladıktan sonra farklı değerlendirme yöntemleri belirleyebilirsiniz. Ben sadece işin mantığını açıklayan belirlemeyi izah ettim.

Ben işlemleri eksel vb yazılımlarda kullanmak için x’lerin tespitlerinde aşağıdaki önermeyi kullanıyorum:

x1 için f(x1)*f(x3)<0 ise x1; x3

x2 için f(x2)*f(x3)<0 ise x2;x3

Yukarıdaki iki önermeden sadece biri gerçekleşecek ve x1 veya x2‘den sadece biri değişecektir. Çünkü başlangıç değerlerimiz y=0 yapan x değerlerinin sağında ve solundadır. x1 ve x2 değerlerinin neticeleri olan f(x)’lerin biri pozitif, diğeri negatif çıkacaktır, yani x1 ile x2‘nin işareti farklı çıkacaktır. Eğer işaretleri farklı çıkmaz ise, zaten başlangıç değerleri olan x’lerden birinin y<0 ve diğerinin y>0 olması gerektiği koşullarına uyulmamış demektir.

f(x)’lerin işaretleri aynı ise, y=0 ( f(x)=0 )’ın o aralıkta olmadığı bellidir. y=0 pozitif ve negatif değerler arasındadır.

İkinci adımdaki başlangıç değerlerimizi de böylece belirledikten sonra, 1. adımda yaptığımız gibi f(x)’ler hesaplanır ve tekrar değerlendirme yapılarak 3. adıma geçilir.

Örneğin

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
x1
x2
(x1+x2) /2
f(x1)<0
f(x2)>0
f(x3)>0
2
x1
x3
x4 =

(x1+x3) /2
f(x1)<0
f(x3)>0
f(x4)<0
3
x4
x3
x5 = (x3+x4) /2
f(x4)<0
f(x3)>0
f(x5)>0
4
x4
x5
x6 = (x4+x5) /2
f(x4)<0
f(x5)>0
f(x6)>0
n
xa
xb
xn = (xa+xb) /2
f(xa)
f(xb)
f(xn)=0

Bu işlemler f(x3)=0 olana kadar tekrarlanır. f(x3)=0 yapan x3 değerimiz y=0 yapan x değerimizdir.

Her hesapta f(x3)=0 ve x3 tam sayı çıkmayabilir. İşlemler sonsuz adıma kadar uzayabilir. Biz işlemlerimizin hassasiyetine göre belli bir noktada ilerlemeyi bırakabiliriz.

Örneğin 1/1000 (binde 1) hassayeti yeterli görüp bırakabiliriz. Mesela adım 5’te f(x3)=0,00023 gibi bir değer bulduğumuzda işlemi bırakabiliriz. 0<<0,00023 olarak kabul edilebilir.f(x)=0 için 5. adımdaki x değerini kullanabiliriz.

f(x)=0’a en yakın x değerini istediğiniz hassasiyette bulabilirsiniz. Adımları ilerlettikçe hassasiyet artar.

Tahmin İle Çözüme Başlamak

Örnek 1/2

f(x) = 5x+4

y=0 için x=?

Konu anlatımı için böyle basit bir örnekle başlamayı uygun buldum.

Çözüm:

x1 için y>0 x2 için y<0 yapan iki değer seçelim.

(Not: x1 için y<0 x2 için y>0’da olabilir) x1=1 dersem

f(x1) =5x1 + 4 = 5*1 + 4 = 9 y>0 uygundur.

x2= -1 dersem f(x2) = 5x2 + 4 = 5*-1 + 4 = -1

y<0 uygundur. x1 veya x2 değerlerinizden biri f(x)’i sıfır yapıyorsa zaten çözümü atmasyon yöntemi ile elde etmişsiniz demektir.

x3= (x1+x2)/2=(1-1)/2=0/2=0 x3=0

f(x3) = 5x3 + 4 = 5*0 + 4 = 4

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
1
-1
0
9
-1
4

Adım 2’ye geçmek için baktığımızda y=0 değeri f(x2) ile f(x3) arasında kaldı. Dikkat edin, kıyaslamaları x1-x3 ile x2-x3 arsında yapıyoruz. Başlangıç değerlerimizi (x1 ve x2‘yi) zaten y=0’ı ortalayacak şekilde biz seçtik, x1-x2 arasında değerlendirme yapmanın anlamı yok. y=0 değeri f(x2) ile f(x3) arasında kaldığına göre x2 değişmeyecektir. x1‘i değiştirip yerine x3‘ü yazacağız.

Kıyaslamayı birde şu şekilde yapalım:

x1 için f(x1)*f(x3)<0 ise x1;x3

f(x1)*f(x3)=36 olduğundan x1 yerine x3 yazılır. Bu durumda x2 değişmeyecek demektir ama biz yine de kontrol edelim.

x2 için f(x2)*f(x3)<0 ise x2;x3

-4<0 olduğu için x2 değişmez. İlla çarpma yapmanıza gerek yok. f(x)’lerin işaretlerinden, neticenin pozitif mi? negatif mi? olacağı bellidir.

Benzer işaretli sayıların çarpımları pozitif (-)*(-)=(+)_____(+)*(+)=(+)

Farklı işaretli sayıların çarpımları negatiftir (-)*(+)=(-)_____(+)*(-)=(-)

x3= (x1+x2)/2=(0-1)/2=-1/2=-0,5

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
1
-1
0
9
-1
4
2
0
-1
-0,5

f(x1) = 5x1 + 4 = 5*0 + 4 = 4

f(x2) = 5x2 + 4 = 5*-1 + 4 = -1

f(x3) = 5x3 + 4 = 5*-0,5 + 4 = 1,5

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
1
-1
0
9
-1
4
2
0
-1
-0,5
4
-1
1,5

Görüldüğü gibi başlangıç aralığımız daralarak 0’a yaklaşıyor.

Adım 3 ve ileriside yukarıdaki adımların tekrarıdır. Neticeyi 1/100 hassasiyette bırakacağız.

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
1
-1
0
9
-1
4
2
0
-1
-0,5
4
-1
1,5
3
-0,5
-1
-0,75
1,5
-1
0,25
4
-0,75
-1
-0,875
0,25
-1
-0,375
5
-0,75

-0,875

-0,8125
0,25
-0,375
-0,0625
6
-0,75

-0,8125

-0,78125
0,25
-0,0625
0,0938
7
-0,78125

-0,8125

-0,796875
0,0938
-0,0625
0,0156
8
-0,796875

-0,8125

-0,804688
0,0156
-0,0625
-0,0234
9
-0,796875

-0,804688
-0,800781
0,0156
-0,0234
-0,0039

9. adımda f(x3) = -0,0039 çıktı. .Neticede x= -0,800781 değerini bulmuş oluruz.

1/100 hassasiyet ile x= -0,800781 için y=0 diyebiliriz.

Bu basit örneğimiz de x’i net olarak çözebileceğimiz için kıyaslayalım.

5x+4=0

x= -4/5 = -0,8’dir

-0,8-0,800781

Eğer adımları daha da ilerletirseniz net olarak -0,8 değerine kesinlikle ulaşacağınıza şüpheniz olmasın.

Daha önce de belirttiğim gibi konunun izahı için basit bir denklemle konu anlatımında bulundum.

 

Örnek 2/2

f(x)=10x + 5cos(x) = 0 için 1/1000 hassasiyetle x=?

f(x1) = -1 için

f(x1) = 10*(1) + 5cos(1) = -7,2985

f(x2) = 2 için

f(x2) = 10*(2) + 5cos(2) = 17,9193

Adımx1x2x3f(x1)f(x2)f(x3)

1

-1,000000

2,000000

0,500000

-7,2985

17,9193

9,3879

2

-1,000000

0,500000

-0,250000

-7,2985

9,3879

2,3446

3

-1,000000

-0,250000

-0,625000

-7,2985

2,3446

-2,1952

4

-0,625000

-0,250000

-0,437500

-2,1952

2,3446

0,1541

5

-0,625000

-0,437500

-0,531250

-2,1952

0,1541

-1,0016

6

-0,531250

-0,437500

-0,484375

-1,0016

0,1541

-0,4189

7

-0,484375

-0,437500

-0,460938

-0,4189

0,1541

-0,1312

8

-0,460938

-0,437500

-0,449219

-0,1312

0,1541

0,0117

9

-0,460938

-0,449219

/sub

-0,455078

-0,1312

0,0117

-0,0596

10

-0,455078

-0,449219

-0,452148

-0,0596

0,0117

-0,0239

11

-0,452148

-0,449219

-0,450684

-0,0239

0,0117

-0,0061

12

-0,450684

-0,449219

-0,449951

-0,0061

0,0117

0,0028

13

-0,450684

-0,449951

-0,450317

-0,0061

0,0028

-0,0016

14

-0,450317

-0,449951

-0,450134

-0,0016

0,0028

0,0006

f(x)=10x + 5cos(x) = 0 için x = -0,450134 (1/1000 hassasiyet ile)

Grafik Çizerek Çözüme Başlamak

Şimdi de 2. dereceden bir denklemin çözüm örneğine bakalım.

y=ax2+bx+c

f(x) = 8x2+ 4x -60 denkleminde

y=0 için x=?

Denklem y=0 için x eksenini kesmektedir.Aksi takdirde çözüm kümesi için x yoktur, tanımsızdır. Karşılaştığınız sorularda eğrinin x eksenini kesip kesmediğini kontrol ediniz.

Örneğin aşağıdaki eğriye sahip 2. derecede denklemde y=0 için x değeri yoktur.

Bu vb. yüksek dereceli denklemleri çözebilmek için ya taslak olarak bir grafik çizmeliyiz ya da tepe noktalarını belirleyerek tahminde bulunmalıyız.

Tepe noktalarının tespiti ile tahmini değerleri bulmayı bir sonraki örnekte anlatacağım.Bu işlem için en azında basitçe türev almayı bilmeliyiz.

Bu aşama da grafik çizim ile çözelim. Grafiğin çok hassas olması önemli değil. Maksat y=0 noktalarını hangi aralıklarda olduğunu görmektir. y=0 noktaları diyoruz, çünkü derecesi 1’den büyük olan denklemlerin çözüm kümesinde 1’den fazla eleman vardır ve x’i birden fazla noktadan kesebilirler. 4. dereceden bir denklemin y=0 çözüm kümesinde en fazla 4 eleman olabilir. (y=0 yapan en fazla 4 farklı x değeri vardır.) ve x’i en fazla 4 noktadan keserler. En fazla diyorum çünkü 4. dereceden bir denklemde eğri x noktasını daha az noktadan kesebilir ve derecesi kadar x değeri olmayabilir.

Bir önceki sorumuz 1. dereceden bir denklemdi. Dolayısıyla çözüm kümesinde 1 eleman vardı ve x’i en fazla bir noktadan kesiyordu.

Bu sorumuz 2. dereceden bir denklem olduğu için x’i iki noktadan keser ve y=0 için iki farklı x değeri vardır. Bu anlattıklarım y=0’ı sağlamayan çözüm kümesi boş denklemler için geçerli değildir. Zira her denklem y=0’ı sağlayacak diye bir şart yok.

2. dereceden denklemleri yarıya bölme yönteminden daha basit bir yöntemle çözebiliriz. Konu anlatımı için yarıya bölme yöntemini kullanacağız. Denklemi 2. dereceden denklemler için kullandığımız basit formülle çözüp kıyaslama yaparız.

Önce kaba taslak bir grafik çizelim.

Ben -44 aralığında bir grafik çiziyorum.

x için 0, 2, 4, -2, -4 noktalarını belirleyeceğim.

f(x) = 8x2+ 4x -60 denkleminde

f(-4) = 52……….f(-2) = -36……….f(0) = -60……….f(2) = -20……….f(4) = 84

y=0 için iki tane x değeri vardır ve her ikisi içinde ayrı ayrı çözüm yapılmalıdır.

y=0 için xa =? xb =?

Çizdiğimiz taslak grafiğe bakarak

xa‘nın çözümü için xa1 =-4 xa2 =-2 değerlerini,

xb‘nin çözümü için xb1 =2 xb2 =4 değerlerini, alabiliriz.

Başlangıç değerlerinin yakın almamak işlemlerimizi çok uzatmaz. Bunu göstermek için -4 ve -2 ile başlamak yerine -7 ve 0 gibi uzak değerlerle başlayacağım. Normalde -4 ve -2 bize uygundur.

xa‘nın çözümü için xa1 =-7 xa2 =0 değerlerini,

xb‘nin çözümü için xb1 =0 xb2 =7 değerlerini, alacağım. Bu değerler yapacağım işlemde adım sayısını korkulacak kadar arttırmaz..

xa‘nın çözümü için hesabımız

f(xa1) = 8xa12+ 4xa1 -60 = 8(-7)2+ 4(-7) -60 =304

f(xa2) = 8xa22+ 4xa2 -60 = 8(02)+ 4(0) -60 =-60

x3= (x1+x2)/2=(-7+0)/2=-7/2=-3,5

f(xa3) = 8xa32+ 4xa3 -60 = 8(-3,52)+ 4(-3,5) -60 =24

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

y=0 değerimiz f(xa2)ile f(xa3)arasında kaldı. Yeni değerlerimiz için bu iki denkleme ait xa2 ve xa3 değerleri ile devam edeceğiz.Dolayısıyla xa2‘yi değiştirmiyoruz, xa1 yerine xa3‘ü yazacağız.

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

2

-3,500000

0,000000

 

 

 

 

x3= (x1+x2)/2=(-3,5+0)/2=-3,5/2=-1,75

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

2

-3,500000

0,000000

-1,750000

 

 

 

f(xa1) =8xa12+ 4xa1 -60 = 8(-3,52)+ 4(-3,5) -60 =24

f(xa2) =8xa22+ 4xa2 -60 = 8(02)+ 4(0) -60 =-60

f(xa3) = 8xa32+ 4xa3 -60 = 8(-1,752)+ 4(-1,75) -60 =-42,5

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

2

-3,500000

0,000000

-1,750000

24,0000

-60,0000

-42,5000

İşlemlerimizi aynı döngü ile sürdürüyoruz.

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

2

-3,500000

0,000000

-1,750000

24,0000

-60,0000

-42,5000

3

-3,500000

-1,750000

-2,625000

24,0000

-42,5000

-15,3750

4

-3,500000

-2,625000

-3,062500

24,0000

-15,3750

2,7813

5

-3,062500

-2,625000

-2,843750

2,7813

-15,3750

-6,6797

6

-3,062500

-2,843750

-2,953125

2,7813

-6,6797

-2,0449

7

-3,062500

-2,953125

-3,007813

2,7813

-2,0449

0,3442

8

-3,007813

-2,953125

-2,980469

0,3442

-2,0449

-0,8563

9

-3,007813

-2,980469

-2,994141

0,3442

-0,8563

-0,2575

10

-3,007813

-2,994141

-3,000977

0,3442

-0,2575

0,0430

11

-3,000977

-2,994141

-2,997559

0,0430

-0,2575

-0,1074

12

-3,000977

-2,997559

-2,999268

0,0430

-0,1074

-0,0322

13

-3,000977

-2,999268

-3,000122

0,0430

-0,0322

0,0054

14

-3,000122

-2,999268

-2,999695

0,0054

-0,0322

-0,0134

15

-3,000122

-2,999695

-2,999908

0,0054

-0,0134

-0,0040

16

-3,000122

-2,999908

-3,000015

0,0054

-0,0040

0,0007

16. adımda 1/1000 hassasiyeti yeterli görüp çözümü bitiriyorum.

y=0 için xa= -3,000015

xb‘nin çözümü için hesabımız başlangıç değerlerimiz 0-7 aralığında:

Adımxb1xb2xb3f(xb1)f(xb2)f(xb3)

1

0,000000

7,000000

3,500000

-60,0000

360,0000

52,0000

2

0,000000

3,500000

1,750000

-60,0000

52,0000

-28,5000

3

1,750000

3,500000

2,625000

-28,5000

52,0000

5,6250

4

1,750000

2,625000

2,187500

-28,5000

5,6250

-12,9688

5

2,187500

2,625000

2,406250

-12,9688

5,6250

-4,0547

6

2,406250

2,625000

2,515625

-4,0547

5,6250

0,6895

7

2,406250

2,515625

2,460938

-4,0547

0,6895

-1,7065

8

2,460938

2,515625

2,488281

-1,7065

0,6895

-0,5145

9

2,488281

2,515625

2,501953

-0,5145

0,6895

0,0860

10

2,488281

2,501953

2,495117

-0,5145

0,0860

-0,2147

11

2,495117

2,501953

2,498535

-0,2147

0,0860

-0,0644

12

2,498535

2,501953

2,500244

-0,0644

0,0860

0,0107

13

2,498535

2,500244

2,499390

-0,0644

0,0107

-0,0269

14

2,499390

2,500244

2,499817

-0,0269

0,0107

-0,0081

15

2,499817

2,500244

2,500031

-0,0081

0,0107

0,0013

16

2,499817

2,500031

2,499924

-0,0081

0,0013

-0,0034

17

2,499924

2,500031

2,499977

-0,0034

0,0013

-0,0010

18

2,499977

2,500031

2,500004

-0,0010

0,0013

0,0002

Buradaki hesapta da 18. adımda 1/1000 hassasiyet ile çözümü bitiriyorum. y=0 için xb= 2,500004

y=0 için x değerlerim -3,000015 ve 2,500004

Aslında çözümü ilerlettikçe x’lerin -3 ve 2,5’a doğru gittiği görülür. Adımları ilerletirseniz net sonuca gidersiniz.

2. dereceden denklemler için kullandığımız formül ile hesabımızı karşılaştıralım.

-33,000015

2,52,500004

Tepe Noktalarını Bularak Çözüme Başlamak

f(x)=3x2+ 7x -12

y=0 için x=?

Denklemimiz 2. derecedendir ve çözüm kümesinde 2 eleman vardır.

Yarıya bölme yöntemi ile çözümde tahmini değerlerimizden bir tanesini

xaiçin xa1=xt

xbiçin xb1=xt olarak alabiliriz.

xt denklem eğrisinin tepe noktaları olan yt ‘leri veren değerlerdir. 2. dereceden denklemde (derece-1) 1 tepe noktası vardır.

Bir denklemin türevinin çözüm kümesindeki değerler, denklemin tepe noktalarını veren değerlerdir.

2. dereceden denklemimizin türevi 1. dereceden olacaktır ve 1. dereceden denklemlerin çözüm kümesinde 1 eleman vardır. Dolayısıyla 1 tepe noktası vardır.

f(x)=3x2+ 7x -12

f(x)=6x + 7

6x + 7=0 için

x= -7/6

Denklemimizde ki eğrinin tepe noktası xt= -7/6’da dır.

yt=3xt2+ 7xt -12=3(-7/6)2+ 7(-7/6) -12

yt = – 16,0833

xaiçin xa1=xt

xbiçin xb1=xt

f(xa1)=f(xt)=yt

f(xb1)=f(xt)=yt

dedikten sonra xa2 ve xb2‘yi şöyle tespit edebiliriz:

f(xa2) ve f(xb2)’nin işareti f(xt)’nin işaretinin tersi netice verecek şekilde tahmin edilmelidir. Böylece y=0 için x değeri tahmini değerlerimiz olan (xa1xa2) ve (xb1xb2) arasında kalır. Yani

(f(xa1)*f(xa2)<0

(f(xb1)*f(xb2)<0olmalıdır.

xa için çözüm

xa1= -7/6’yı tepe noktası olarak belirlemiştik.

xa2 = -3 diyelim (Tepe noktasının solundan seçtim. Bu durumda xb2 ‘yi seçerken sağından seçmeliyim)

(f(xa1)*f(xa2)<0

f(xa2)=3xa22+ 7xa2 -12 = 3(-3)2 + 7(-3) – 12 = 27-21-12= -6

(f(xa1)*f(xa2)<0 koşulunu -16,0833*-6 sağlamadığı için xa2 = -3 için çözüme gidemeyiz.

xa2 = -8 diyelim

f(xa2)=3xa22+ 7xa2 -12 = 3(-8)2 + 7(-8) – 12 = 192-56-12= 124

(f(xa1)*f(xa2)<0 koşulu için -16,0833*124<0 olduğu için xa2 = -8 ile çözüme gidebiliriz.

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7/6

-8,000000

-4,583333

-16,0833

124,0000

18,9375

2

-7/6

-4,583333

-2,875000

-16,0833

18,9375

-7,3281

3

-2,875000

-4,583333

-3,729167

-7,3281

18,9375

3,6159

4

-2,875000

-3,729167

-3,302083

-7,3281

3,6159

-2,4033

5

-3,302083

-3,729167

-3,515625

-2,4033

3,6159

0,4695

6

-3,302083

-3,515625

-3,408854

-2,4033

0,4695

-1,0011

7

-3,408854

-3,515625

-3,462240

-1,0011

0,4695

-0,2744

8

-3,462240

-3,515625

-3,488932

-0,2744

0,4695

0,0954

9

-3,462240

-3,488932

-3,475586

-0,2744

0,0954

-0,0900

10

-3,475586

-3,488932

-3,482259

-0,0900

0,0954

0,0026

11

-3,475586

-3,482259

-3,478923

-0,0900

0,0026

-0,0438

12

-3,478923

-3,482259

-3,480591

-0,0438

0,0026

-0,0206

13

-3,480591

-3,482259

-3,481425

-0,0206

0,0026

-0,0090

14

-3,481425

-3,482259

-3,481842

-0,0090

0,0026

-0,0032

15

-3,481842

-3,482259

-3,482051

-0,0032

0,0026

-0,0003

15. adımda 1/1000 hassasiyet için xa= -3,482051’dir.

xb için çözüm

xb1= -7/6’yı tepe noktası olarak belirlemiştik.

xb2 = 1 diyelim (xa2 ‘yi tepe noktasının solundan seçmiştim. Bu durumda xb2 ‘yi seçerken tepe noktasının sağından seçmeliyim)

(f(xb1)*f(xb2)<0

f(xb2)=3xb22+ 7xb2 -12 = 3(1)2 + 7(1) – 12 = 3+7-12= -2

(f(xb1)*f(xb2)<0 koşulunu -16,0833*-2 sağlamadığı için xb2 = 1 için çözüme gidemeyiz.

xb2 = 3 diyelim

f(xb2)=3xb22+ 7xb2 -12 = 3(3)2 + 7(3) – 12 = 27+21-12= 36

(f(xb1)*f(xb2)<0 koşulu için -16,0833*36<0 olduğu için xb2 = 3 ile çözüme gidebiliriz.

Adımxb1xb2xb3f(xb1)f(xb2)f(xb3)

1

-7/6

3,000000

0,916667

-16,0833

36,0000

-3,0625

2

0,916667

3,000000

1,958333

-3,0625

36,0000

13,2135

3

0,916667

1,958333

1,437500

-3,0625

13,2135

4,2617

4

0,916667

1,437500

1,177083

-3,0625

4,2617

0,3962

5

0,916667

1,177083

1,046875

-3,0625

0,3962

-1,3840

6

1,046875

1,177083

1,111979

-1,3840

0,3962

-0,5067

7

1,111979

1,177083

1,144531

-0,5067

0,3962

-0,0584

8

1,144531

1,177083

1,160807

-0,0584

0,3962

0,1681

9

1,144531

1,160807

1,152669

-0,0584

0,1681

0,0546

10

1,144531

1,152669

1,148600

-0,0584

0,0546

-0,0020

11

1,148600

1,152669

1,150635

-0,0020

0,0546

0,0263

12

1,148600

1,150635

1,149618

-0,0020

0,0263

0,0122

13

1,148600

1,149618

1,149109

-0,0020

0,0122

0,0051

14

1,148600

1,149109

1,148855

-0,0020

0,0051

0,0016

15

1,148600

1,148855

1,148727

-0,0020

0,0016

-0,0002

15. adımda 1/1000 hassasiyet için xb= 1,148727’dur.

y=0 için
x1= -3,482051
x2
= 1,148727

ile çözersek x1= -3,482073 x2= 1,148740

-3,482073 -3,482051

1,148740 1,148727

Daha ileriki adımlarda daha yüksek hassasiyet ile netice bulunur. Burada uzatmanın anlamı yok “,

Yüksek Dereceli Denklemler

Bu yöntem ile 3’ten yüksek dereceli denklemleri çözmeye çalışmanız yorgunluk, halsizlik, matematikten nefret gibi yan etkilere sebebiyet verebilir. Demek istediğim bu yöntemle yüksek dereceli denklemleri çözmeye çalışmak zaman kaybıdır.Yarıya bölme yöntemi ln, e, cos,.. gibi ifadeler içeren, x’in tek başına bırakılmasının zor olduğu durumlar için ilaçtır. 3. Dereceden bir denklemi çözmek için tepe noktalarını bulun, gerisi gelir.

3. dereceden denklemin 2 tepe noktası vardır. Denklemin türevi alındığından 2. dereceden denklem elde edilecektir. Denklemin türevinin çözüm kümesi tepe noktalarını vereceğinden bahsetmiştik. 2. dereceden denklemde 2 bilinmeyen olduğu için, 3. derecede denklemin de 2 tepe noktası var demektir.

Denklemin türevinin çözüm kümesi bulunduktan sonra, sadece 2 değeri tahmin etmek bize kalır. Kullanacağımız başlangıç değerleri için tepe noktalarını kullanacağız. Tepe noktalaları dışındaki 2 noktayı (xa2ve xc2)biz tahmin edeceğiz. Aşağıdaki resimde başlangıç değerlerimizin yerleri bellidir. Gerisini siz halledebilirsiniz.

Not

Olmayan sayıyı aramayın. 3. dereceli denklemi örnek alırsak, 3. dereceden denklemde y=0 için çözüm kümesi en fazla üç elemanlıdır.Yani y=0 yapan x değeri, denklemin derecesi kadar olmayabilir. Örneğin 3. dereceden denklemde y=0 yapan x değeri 2 tane olabilir. Yani eğri x eksenini sadece 2 noktadan kesiyor olabilir. Denklemi türevleyip tepe noktalarını bulduğumuzda, tepe noktalarının işaretleri bize bu konuda bilgi verir. Birbirine en yakın iki tepe noktasının işareti aynı ise, o iki tepe noktası arasında y=0 için x değeri yoktur demektir. Bu konuya 4. dereceden bir denklemle örnek verelim.

f(x)= 44x4 + 500x3 – 10000x2 + 25x + 400000 denklemine ait eğrinin tepe noktalarına bakalım.

Üstteki 4. dereceden bir denklem olduğu için (4-1=3) tepe noktası vardır.

f(x)’=176x3 + 1500x2-20000x+ 25

f(x)’=0 için çözüm kümesini bulduğumuzda x1= 7,218 x2= -15,742 x3= 0,00125

Denklemin tepe noktaları

f(7,218)= 44x4 + 500x3 – 10000x2 + 25x + 400000=186 644,25

f(-15,742)= 44x4 + 500x3 – 10000x2 + 25x + 400000=-132 6972,812

f(0,00125)= 44x4 + 500x3 – 10000x2 + 25x + 400000=400 000,016

Tepe noktalarını küçükten büyüğe sıraya koyalım

-132 6972,812__________ 186 644,25__________ 400 000,016

y=0 için x, ilk iki tepe noktası arasında mevcut (yt1*yt2<0). Ancak son iki tepe noktası aynı işaretli ve y=0 için x değeri yok (yt2*yt3).

Dolayısıyla 4. dereceden denklemimizin çözüm kümesinde 2 değer vardır.

İçindekiler