Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi

Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi

28 Mart 2010 0 Yazar: İbrahim AY

Tepe Noktalarını Bularak Çözüme Başlamak


Tepe Noktalarını Bularak Çözüme Başlamak

f(x)=3x2+ 7x -12

y=0 için x=?

Denklemimiz 2. derecedendir ve çözüm kümesinde 2 eleman vardır.

Yarıya bölme yöntemi ile çözümde tahmini değerlerimizden bir tanesini

xaiçin xa1=xt

xbiçin xb1=xt olarak alabiliriz.

xt denklem eğrisinin tepe noktaları olan yt ‘leri veren değerlerdir. 2. dereceden denklemde (derece-1) 1 tepe noktası vardır.

Bir denklemin türevinin çözüm kümesindeki değerler, denklemin tepe noktalarını veren değerlerdir.

2. dereceden denklemimizin türevi 1. dereceden olacaktır ve 1. dereceden denklemlerin çözüm kümesinde 1 eleman vardır. Dolayısıyla 1 tepe noktası vardır.

f(x)=3x2+ 7x -12

f(x)=6x + 7

6x + 7=0 için

x= -7/6

Denklemimizde ki eğrinin tepe noktası xt= -7/6’da dır.

yt=3xt2+ 7xt -12=3(-7/6)2+ 7(-7/6) -12

yt = – 16,0833

xaiçin xa1=xt

xbiçin xb1=xt

f(xa1)=f(xt)=yt

f(xb1)=f(xt)=yt

dedikten sonra xa2 ve xb2‘yi şöyle tespit edebiliriz:

f(xa2) ve f(xb2)’nin işareti f(xt)’nin işaretinin tersi netice verecek şekilde tahmin edilmelidir. Böylece y=0 için x değeri tahmini değerlerimiz olan (xa1xa2) ve (xb1xb2) arasında kalır. Yani

(f(xa1)*f(xa2)<0

(f(xb1)*f(xb2)<0olmalıdır.

xa için çözüm

xa1= -7/6’yı tepe noktası olarak belirlemiştik.

xa2 = -3 diyelim (Tepe noktasının solundan seçtim. Bu durumda xb2 ‘yi seçerken sağından seçmeliyim)

(f(xa1)*f(xa2)<0

f(xa2)=3xa22+ 7xa2 -12 = 3(-3)2 + 7(-3) – 12 = 27-21-12= -6

(f(xa1)*f(xa2)<0 koşulunu -16,0833*-6 sağlamadığı için xa2 = -3 için çözüme gidemeyiz.

xa2 = -8 diyelim

f(xa2)=3xa22+ 7xa2 -12 = 3(-8)2 + 7(-8) – 12 = 192-56-12= 124

(f(xa1)*f(xa2)<0 koşulu için -16,0833*124<0 olduğu için xa2 = -8 ile çözüme gidebiliriz.

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7/6

-8,000000

-4,583333

-16,0833

124,0000

18,9375

2

-7/6

-4,583333

-2,875000

-16,0833

18,9375

-7,3281

3

-2,875000

-4,583333

-3,729167

-7,3281

18,9375

3,6159

4

-2,875000

-3,729167

-3,302083

-7,3281

3,6159

-2,4033

5

-3,302083

-3,729167

-3,515625

-2,4033

3,6159

0,4695

6

-3,302083

-3,515625

-3,408854

-2,4033

0,4695

-1,0011

7

-3,408854

-3,515625

-3,462240

-1,0011

0,4695

-0,2744

8

-3,462240

-3,515625

-3,488932

-0,2744

0,4695

0,0954

9

-3,462240

-3,488932

-3,475586

-0,2744

0,0954

-0,0900

10

-3,475586

-3,488932

-3,482259

-0,0900

0,0954

0,0026

11

-3,475586

-3,482259

-3,478923

-0,0900

0,0026

-0,0438

12

-3,478923

-3,482259

-3,480591

-0,0438

0,0026

-0,0206

13

-3,480591

-3,482259

-3,481425

-0,0206

0,0026

-0,0090

14

-3,481425

-3,482259

-3,481842

-0,0090

0,0026

-0,0032

15

-3,481842

-3,482259

-3,482051

-0,0032

0,0026

-0,0003

15. adımda 1/1000 hassasiyet için xa= -3,482051’dir.

xb için çözüm

xb1= -7/6’yı tepe noktası olarak belirlemiştik.

xb2 = 1 diyelim (xa2 ‘yi tepe noktasının solundan seçmiştim. Bu durumda xb2 ‘yi seçerken tepe noktasının sağından seçmeliyim)

(f(xb1)*f(xb2)<0

f(xb2)=3xb22+ 7xb2 -12 = 3(1)2 + 7(1) – 12 = 3+7-12= -2

(f(xb1)*f(xb2)<0 koşulunu -16,0833*-2 sağlamadığı için xb2 = 1 için çözüme gidemeyiz.

xb2 = 3 diyelim

f(xb2)=3xb22+ 7xb2 -12 = 3(3)2 + 7(3) – 12 = 27+21-12= 36

(f(xb1)*f(xb2)<0 koşulu için -16,0833*36<0 olduğu için xb2 = 3 ile çözüme gidebiliriz.

Adımxb1xb2xb3f(xb1)f(xb2)f(xb3)

1

-7/6

3,000000

0,916667

-16,0833

36,0000

-3,0625

2

0,916667

3,000000

1,958333

-3,0625

36,0000

13,2135

3

0,916667

1,958333

1,437500

-3,0625

13,2135

4,2617

4

0,916667

1,437500

1,177083

-3,0625

4,2617

0,3962

5

0,916667

1,177083

1,046875

-3,0625

0,3962

-1,3840

6

1,046875

1,177083

1,111979

-1,3840

0,3962

-0,5067

7

1,111979

1,177083

1,144531

-0,5067

0,3962

-0,0584

8

1,144531

1,177083

1,160807

-0,0584

0,3962

0,1681

9

1,144531

1,160807

1,152669

-0,0584

0,1681

0,0546

10

1,144531

1,152669

1,148600

-0,0584

0,0546

-0,0020

11

1,148600

1,152669

1,150635

-0,0020

0,0546

0,0263

12

1,148600

1,150635

1,149618

-0,0020

0,0263

0,0122

13

1,148600

1,149618

1,149109

-0,0020

0,0122

0,0051

14

1,148600

1,149109

1,148855

-0,0020

0,0051

0,0016

15

1,148600

1,148855

1,148727

-0,0020

0,0016

-0,0002

15. adımda 1/1000 hassasiyet için xb= 1,148727’dur.

y=0 için
x1= -3,482051
x2
= 1,148727

ile çözersek x1= -3,482073 x2= 1,148740

-3,482073 -3,482051

1,148740 1,148727

Daha ileriki adımlarda daha yüksek hassasiyet ile netice bulunur. Burada uzatmanın anlamı yok “,

İçindekiler

Sayfalar: 1 2 3 4 5 6 Tümü