Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi

Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi

28 Mart 2010 0 Yazar: İbrahim AY

Grafik Çizerek Çözüme Başlamak


Grafik Çizerek Çözüme Başlamak

Şimdi de 2. dereceden bir denklemin çözüm örneğine bakalım.

y=ax2+bx+c

f(x) = 8x2+ 4x -60 denkleminde

y=0 için x=?

Denklem y=0 için x eksenini kesmektedir.Aksi takdirde çözüm kümesi için x yoktur, tanımsızdır. Karşılaştığınız sorularda eğrinin x eksenini kesip kesmediğini kontrol ediniz.

Örneğin aşağıdaki eğriye sahip 2. derecede denklemde y=0 için x değeri yoktur.

Bu vb. yüksek dereceli denklemleri çözebilmek için ya taslak olarak bir grafik çizmeliyiz ya da tepe noktalarını belirleyerek tahminde bulunmalıyız.

Tepe noktalarının tespiti ile tahmini değerleri bulmayı bir sonraki örnekte anlatacağım.Bu işlem için en azında basitçe türev almayı bilmeliyiz.

Bu aşama da grafik çizim ile çözelim. Grafiğin çok hassas olması önemli değil. Maksat y=0 noktalarını hangi aralıklarda olduğunu görmektir. y=0 noktaları diyoruz, çünkü derecesi 1’den büyük olan denklemlerin çözüm kümesinde 1’den fazla eleman vardır ve x’i birden fazla noktadan kesebilirler. 4. dereceden bir denklemin y=0 çözüm kümesinde en fazla 4 eleman olabilir. (y=0 yapan en fazla 4 farklı x değeri vardır.) ve x’i en fazla 4 noktadan keserler. En fazla diyorum çünkü 4. dereceden bir denklemde eğri x noktasını daha az noktadan kesebilir ve derecesi kadar x değeri olmayabilir.

Bir önceki sorumuz 1. dereceden bir denklemdi. Dolayısıyla çözüm kümesinde 1 eleman vardı ve x’i en fazla bir noktadan kesiyordu.

Bu sorumuz 2. dereceden bir denklem olduğu için x’i iki noktadan keser ve y=0 için iki farklı x değeri vardır. Bu anlattıklarım y=0’ı sağlamayan çözüm kümesi boş denklemler için geçerli değildir. Zira her denklem y=0’ı sağlayacak diye bir şart yok.

2. dereceden denklemleri yarıya bölme yönteminden daha basit bir yöntemle çözebiliriz. Konu anlatımı için yarıya bölme yöntemini kullanacağız. Denklemi 2. dereceden denklemler için kullandığımız basit formülle çözüp kıyaslama yaparız.

Önce kaba taslak bir grafik çizelim.

Ben -44 aralığında bir grafik çiziyorum.

x için 0, 2, 4, -2, -4 noktalarını belirleyeceğim.

f(x) = 8x2+ 4x -60 denkleminde

f(-4) = 52……….f(-2) = -36……….f(0) = -60……….f(2) = -20……….f(4) = 84

y=0 için iki tane x değeri vardır ve her ikisi içinde ayrı ayrı çözüm yapılmalıdır.

y=0 için xa =? xb =?

Çizdiğimiz taslak grafiğe bakarak

xa‘nın çözümü için xa1 =-4 xa2 =-2 değerlerini,

xb‘nin çözümü için xb1 =2 xb2 =4 değerlerini, alabiliriz.

Başlangıç değerlerinin yakın almamak işlemlerimizi çok uzatmaz. Bunu göstermek için -4 ve -2 ile başlamak yerine -7 ve 0 gibi uzak değerlerle başlayacağım. Normalde -4 ve -2 bize uygundur.

xa‘nın çözümü için xa1 =-7 xa2 =0 değerlerini,

xb‘nin çözümü için xb1 =0 xb2 =7 değerlerini, alacağım. Bu değerler yapacağım işlemde adım sayısını korkulacak kadar arttırmaz..

xa‘nın çözümü için hesabımız

f(xa1) = 8xa12+ 4xa1 -60 = 8(-7)2+ 4(-7) -60 =304

f(xa2) = 8xa22+ 4xa2 -60 = 8(02)+ 4(0) -60 =-60

x3= (x1+x2)/2=(-7+0)/2=-7/2=-3,5

f(xa3) = 8xa32+ 4xa3 -60 = 8(-3,52)+ 4(-3,5) -60 =24

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

y=0 değerimiz f(xa2)ile f(xa3)arasında kaldı. Yeni değerlerimiz için bu iki denkleme ait xa2 ve xa3 değerleri ile devam edeceğiz.Dolayısıyla xa2‘yi değiştirmiyoruz, xa1 yerine xa3‘ü yazacağız.

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

2

-3,500000

0,000000

 

 

 

 

x3= (x1+x2)/2=(-3,5+0)/2=-3,5/2=-1,75

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

2

-3,500000

0,000000

-1,750000

 

 

 

f(xa1) =8xa12+ 4xa1 -60 = 8(-3,52)+ 4(-3,5) -60 =24

f(xa2) =8xa22+ 4xa2 -60 = 8(02)+ 4(0) -60 =-60

f(xa3) = 8xa32+ 4xa3 -60 = 8(-1,752)+ 4(-1,75) -60 =-42,5

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

2

-3,500000

0,000000

-1,750000

24,0000

-60,0000

-42,5000

İşlemlerimizi aynı döngü ile sürdürüyoruz.

Adımxa1xa2xa3f(xa1)f(xa2)f(xa3)

1

-7,000000

0,000000

-3,500000

304,0000

-60,0000

24,0000

2

-3,500000

0,000000

-1,750000

24,0000

-60,0000

-42,5000

3

-3,500000

-1,750000

-2,625000

24,0000

-42,5000

-15,3750

4

-3,500000

-2,625000

-3,062500

24,0000

-15,3750

2,7813

5

-3,062500

-2,625000

-2,843750

2,7813

-15,3750

-6,6797

6

-3,062500

-2,843750

-2,953125

2,7813

-6,6797

-2,0449

7

-3,062500

-2,953125

-3,007813

2,7813

-2,0449

0,3442

8

-3,007813

-2,953125

-2,980469

0,3442

-2,0449

-0,8563

9

-3,007813

-2,980469

-2,994141

0,3442

-0,8563

-0,2575

10

-3,007813

-2,994141

-3,000977

0,3442

-0,2575

0,0430

11

-3,000977

-2,994141

-2,997559

0,0430

-0,2575

-0,1074

12

-3,000977

-2,997559

-2,999268

0,0430

-0,1074

-0,0322

13

-3,000977

-2,999268

-3,000122

0,0430

-0,0322

0,0054

14

-3,000122

-2,999268

-2,999695

0,0054

-0,0322

-0,0134

15

-3,000122

-2,999695

-2,999908

0,0054

-0,0134

-0,0040

16

-3,000122

-2,999908

-3,000015

0,0054

-0,0040

0,0007

16. adımda 1/1000 hassasiyeti yeterli görüp çözümü bitiriyorum.

y=0 için xa= -3,000015

xb‘nin çözümü için hesabımız başlangıç değerlerimiz 0-7 aralığında:

Adımxb1xb2xb3f(xb1)f(xb2)f(xb3)

1

0,000000

7,000000

3,500000

-60,0000

360,0000

52,0000

2

0,000000

3,500000

1,750000

-60,0000

52,0000

-28,5000

3

1,750000

3,500000

2,625000

-28,5000

52,0000

5,6250

4

1,750000

2,625000

2,187500

-28,5000

5,6250

-12,9688

5

2,187500

2,625000

2,406250

-12,9688

5,6250

-4,0547

6

2,406250

2,625000

2,515625

-4,0547

5,6250

0,6895

7

2,406250

2,515625

2,460938

-4,0547

0,6895

-1,7065

8

2,460938

2,515625

2,488281

-1,7065

0,6895

-0,5145

9

2,488281

2,515625

2,501953

-0,5145

0,6895

0,0860

10

2,488281

2,501953

2,495117

-0,5145

0,0860

-0,2147

11

2,495117

2,501953

2,498535

-0,2147

0,0860

-0,0644

12

2,498535

2,501953

2,500244

-0,0644

0,0860

0,0107

13

2,498535

2,500244

2,499390

-0,0644

0,0107

-0,0269

14

2,499390

2,500244

2,499817

-0,0269

0,0107

-0,0081

15

2,499817

2,500244

2,500031

-0,0081

0,0107

0,0013

16

2,499817

2,500031

2,499924

-0,0081

0,0013

-0,0034

17

2,499924

2,500031

2,499977

-0,0034

0,0013

-0,0010

18

2,499977

2,500031

2,500004

-0,0010

0,0013

0,0002

Buradaki hesapta da 18. adımda 1/1000 hassasiyet ile çözümü bitiriyorum. y=0 için xb= 2,500004

y=0 için x değerlerim -3,000015 ve 2,500004

Aslında çözümü ilerlettikçe x’lerin -3 ve 2,5’a doğru gittiği görülür. Adımları ilerletirseniz net sonuca gidersiniz.

2. dereceden denklemler için kullandığımız formül ile hesabımızı karşılaştıralım.

-33,000015

2,52,500004

Sayfalar: 1 2 3 4 5 6 Tümü