Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi

Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi

28 Mart 2010 0 Yazar: İbrahim AY
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Oy verilmemiş. İlk oy veren olur musun?)
Loading...

Tahmin İle Çözüme Başlamak


Tahmin İle Çözüme Başlamak

Örnek 1/2

f(x) = 5x+4

y=0 için x=?

Konu anlatımı için böyle basit bir örnekle başlamayı uygun buldum.

Çözüm:

x1 için y>0 x2 için y<0 yapan iki değer seçelim.

(Not: x1 için y<0 x2 için y>0’da olabilir) x1=1 dersem

f(x1) =5x1 + 4 = 5*1 + 4 = 9 y>0 uygundur.

x2= -1 dersem f(x2) = 5x2 + 4 = 5*-1 + 4 = -1

y<0 uygundur. x1 veya x2 değerlerinizden biri f(x)’i sıfır yapıyorsa zaten çözümü atmasyon yöntemi ile elde etmişsiniz demektir.

x3= (x1+x2)/2=(1-1)/2=0/2=0 x3=0

f(x3) = 5x3 + 4 = 5*0 + 4 = 4

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
1
-1
0
9
-1
4

Adım 2’ye geçmek için baktığımızda y=0 değeri f(x2) ile f(x3) arasında kaldı. Dikkat edin, kıyaslamaları x1-x3 ile x2-x3 arsında yapıyoruz. Başlangıç değerlerimizi (x1 ve x2‘yi) zaten y=0’ı ortalayacak şekilde biz seçtik, x1-x2 arasında değerlendirme yapmanın anlamı yok. y=0 değeri f(x2) ile f(x3) arasında kaldığına göre x2 değişmeyecektir. x1‘i değiştirip yerine x3‘ü yazacağız.

Kıyaslamayı birde şu şekilde yapalım:

x1 için f(x1)*f(x3)<0 ise x1;x3

f(x1)*f(x3)=36 olduğundan x1 yerine x3 yazılır. Bu durumda x2 değişmeyecek demektir ama biz yine de kontrol edelim.

x2 için f(x2)*f(x3)<0 ise x2;x3

-4<0 olduğu için x2 değişmez. İlla çarpma yapmanıza gerek yok. f(x)’lerin işaretlerinden, neticenin pozitif mi? negatif mi? olacağı bellidir.

Benzer işaretli sayıların çarpımları pozitif (-)*(-)=(+)_____(+)*(+)=(+)

Farklı işaretli sayıların çarpımları negatiftir (-)*(+)=(-)_____(+)*(-)=(-)

x3= (x1+x2)/2=(0-1)/2=-1/2=-0,5

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
1
-1
0
9
-1
4
2
0
-1
-0,5

f(x1) = 5x1 + 4 = 5*0 + 4 = 4

f(x2) = 5x2 + 4 = 5*-1 + 4 = -1

f(x3) = 5x3 + 4 = 5*-0,5 + 4 = 1,5

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
1
-1
0
9
-1
4
2
0
-1
-0,5
4
-1
1,5

Görüldüğü gibi başlangıç aralığımız daralarak 0’a yaklaşıyor.

Adım 3 ve ileriside yukarıdaki adımların tekrarıdır. Neticeyi 1/100 hassasiyette bırakacağız.

Adım
x1
x2
x3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
1
1
-1
0
9
-1
4
2
0
-1
-0,5
4
-1
1,5
3
-0,5
-1
-0,75
1,5
-1
0,25
4
-0,75
-1
-0,875
0,25
-1
-0,375
5
-0,75

-0,875

-0,8125
0,25
-0,375
-0,0625
6
-0,75

-0,8125

-0,78125
0,25
-0,0625
0,0938
7
-0,78125

-0,8125

-0,796875
0,0938
-0,0625
0,0156
8
-0,796875

-0,8125

-0,804688
0,0156
-0,0625
-0,0234
9
-0,796875

-0,804688
-0,800781
0,0156
-0,0234
-0,0039

9. adımda f(x3) = -0,0039 çıktı. .Neticede x= -0,800781 değerini bulmuş oluruz.

1/100 hassasiyet ile x= -0,800781 için y=0 diyebiliriz.

Bu basit örneğimiz de x’i net olarak çözebileceğimiz için kıyaslayalım.

5x+4=0

x= -4/5 = -0,8’dir

-0,8-0,800781

Eğer adımları daha da ilerletirseniz net olarak -0,8 değerine kesinlikle ulaşacağınıza şüpheniz olmasın.

Daha önce de belirttiğim gibi konunun izahı için basit bir denklemle konu anlatımında bulundum.

 

Örnek 2/2

f(x)=10x + 5cos(x) = 0 için 1/1000 hassasiyetle x=?

f(x1) = -1 için

f(x1) = 10*(1) + 5cos(1) = -7,2985

f(x2) = 2 için

f(x2) = 10*(2) + 5cos(2) = 17,9193

Adımx1x2x3f(x1)f(x2)f(x3)

1

-1,000000

2,000000

0,500000

-7,2985

17,9193

9,3879

2

-1,000000

0,500000

-0,250000

-7,2985

9,3879

2,3446

3

-1,000000

-0,250000

-0,625000

-7,2985

2,3446

-2,1952

4

-0,625000

-0,250000

-0,437500

-2,1952

2,3446

0,1541

5

-0,625000

-0,437500

-0,531250

-2,1952

0,1541

-1,0016

6

-0,531250

-0,437500

-0,484375

-1,0016

0,1541

-0,4189

7

-0,484375

-0,437500

-0,460938

-0,4189

0,1541

-0,1312

8

-0,460938

-0,437500

-0,449219

-0,1312

0,1541

0,0117

9

-0,460938

-0,449219

/sub

-0,455078

-0,1312

0,0117

-0,0596

10

-0,455078

-0,449219

-0,452148

-0,0596

0,0117

-0,0239

11

-0,452148

-0,449219

-0,450684

-0,0239

0,0117

-0,0061

12

-0,450684

-0,449219

-0,449951

-0,0061

0,0117

0,0028

13

-0,450684

-0,449951

-0,450317

-0,0061

0,0028

-0,0016

14

-0,450317

-0,449951

-0,450134

-0,0016

0,0028

0,0006

f(x)=10x + 5cos(x) = 0 için x = -0,450134 (1/1000 hassasiyet ile)

Sayfalar: 1 2 3 4 5 6 Tümü