Yamuk Kuralı – (Trapez) Kapalı Newton Cotes Yöntemi

Yöntem

Yöntem

Yöntemin mantığına geçelim.

Bu yöntem ile bilinen f(x₁) ve f(x₂) arasında kalan f(x)değerini arayacağız.

Denklemini bilmediğimiz f(x) eğrisinde x₁ ve x₂ değerlerini bildiğimizde, x’i yaklaşık olarak hesaplayabiliriz. f(x₁) ve f(x₂) noktaları arasına çizilen bir doğru ile elde edilen yamuktan, f(x)’i yaklaşık olarak hesaplayabiliyoruz. Bu yöntemde f(x₁)- f(x₂) doğrusu ile grafiğin arasında kalan mesafeyi (d) ihmal ediyoruz. Bu; x₁ ile x₂ arasındaki mesafe (h) ne kadar küçük olursa, tahmin edilen x, bir o kadar az hata ile hesaplanır demektir.

Yukarıdaki resimde de görüldüğü gibi işin esası tamamen geometri.

Aradığımız x değeri ile elde edilecek f(x) değerimiz, yukarıda a+f(x₂)+d’dir. d’yi ihmal ettiğimizden a+f(x₂) diyeceğiz.

a’yı üçgenlerin benzerliğinden yararlanarak şu şekilde buluruz:

a’yı yalnız bırakıyor ve içler dışlar çarpımını şimdiden açarak yapıyorum;

f(x) değerimiz, a+f(x₂) olduğundan

Şimdi denklemi x/h ve x₁/h parantezine alıyoruz.

Denklemi sadeleştirerek son haline getiriyoruz;

Denklem ne idi;

Aynı düzende denkleme ulaştık. Zaten ben burada genel olarak tanıtılan denklem düzenine ulaşmak için çalıştım. Sizlerde aynı mantıktan yola çıkarak birçok farklı şekilde denklem kurabilirsiniz. Örneğin aynı mantıkla kurduğum denklemlerden bir tanesi şöyle;

Bulduğum bu denklem ile de sonuçlar her zaman aynı çıkacaktır. Zira geometriden yararlanarak f(x)’i denkleme döküyoruz. İzlediğiniz yola göre denklemin görünümü değişecektir.

Bu yöntemde anlaşılacağı gibi h küçüldükçe ve/veya bilinmeyen x bilinen x’lerden herhangi birine yaklaştıkça hata azalır.