Newton-Raphson Yöntemi

Newton-Raphson Yöntemi

1 Mayıs 2010 0 Yazar: İbrahim AY

Giriş

Adını Isaac Newton ve Joseph Raphson’dan alan yöntem, Newton Yöntemi olarakta bilinir. Herhangi bir denklemde y=0 yapan bilinmeyen değişkeni bulmak için kullanılan Newton-Raphson Yöntemi’ni uygulayabilmek için türevin bilinmesi gerekir. Burada yöntemin temeli anlatılarak nasıl işlediği izah edilecektir.

Elinizdeki denklemde f(x)=0 yapan x değer ve/veya değerlerini arıyor iseniz bu yöntemi kullanmanızı tavsiye ederim. İzahtan sonrada göreceğiniz gibi yöntem sizi kısa yoldan f(x)=0’a götürecektir. Öncelikle türevin ne olduğunu hatırlayalım. Türev, eğriye teğet geçen doğrunun x ekseni ile yaptığı açıyı veya diğer bir ifade ile eğimi veren işlemdi. Şimdi rastgele bir denklem yazıyor ve konuyu anlatabilmem için denklemin eğrisini çiziyorum. Bu eğride y=0 yapan x’i bulmak için herhangi bir x değeri seçerek o noktadaki türevini alıyorum.

Yukarıda f(x)=3x2+12x+7 denkleminin eğrisi ve herhangi bir x değeri olarak 4 değerinin kullanıldığı görülmektedir. Resimde gördüğünüz üçgenin hipotenüsü x1 noktasının (resimde x1=4’ün) eğimidir.
Bu yöntemde başlangıç değeri olarak seçtiğimiz x1 noktasının türevi [f(x1) / t] ‘ yi verir. Türevin eğim olduğunu hatırlayınız veya türev ile ilgili konu anlatımına bakınız. Görüldüğü gibi eğimin kestiği x2 değeri y=0 yapan x’e yaklaşmaktadır.

Eğer x2‘yi başlangıç değeri yaparsak x3‘ü elde ederiz ki y=0 yapan x’e daha da yaklaşırız. Yöntemin güzel tarafı x’e büyük adımlar ile hızlıca yaklaşmamızdadır. Burada [x2=x1-t] ‘dir. t ise [f(x1) / f ı(x1)] ‘dir

Zira f(x1)’in türevi [ f(x1) / t ] ‘dir. Dolayısıyla
f(x1) / f ı(x1) ifadesinde f ı(x1) yerine f(x1) / t yazdığımızda f(x1)* t / f(x1) olur ve bu işlemin sonucu t’dir.

x2‘yi bulduktan sonra bu değeri başlangıç alırız ve x3‘ü buluruz.

Bu süreç y=0 yapan değere kadar devam edilir. Her denklemde y=0 yapan net değeri aramak yerine y=0,000 gibi binde bir hassasiyetli (0,00023 , 0,0001 , -0,0004 vs.) sonuçları yeterli görebiliriz.

Uygulama

Bu yöntemi uygularken aşağıdaki gibi 4 sütunlu bir tablo hazırlarız.

xnf(xn)f ı(xn)xn-[ f(xn) / f ı(xn) ] = xn+1

İlk sütun başlangıç değerimiz, ikinci sütun x değeri için elde edilen denklem sonucumuz, üçüncü sütun x değeri için elde edilen türevli denklem sonucumuz ve dördüncü sütun ise bir sonraki adımda kullanacağımız başlangıç değerimiz içindir.

x1f(x1)f ı(x1)x1– [ f(x1) / f ı(x1) ] = x2
x2 = x1– [ f(x1) / f ı(x1) ]f(x2)f ı(x2)x2– [ f(x2) / f ı(x2) ] = x3
x3 = x2– [ f(x2) / f ı(x2) ]f(x3)f ı(x3)x3– [ f(x3) / f ı(x3) ] = x4

Eğer çözüm kümesi boş değil ise tabloda görülen süreç f(xn)=0 yapan xn değerine kadar sürdürülür.Yöntemin neticeleri ve boş çözüm kümesi nedeni ile uygulamada görülen süreçlerin anlamlarına burada girmiyorum. Sonra belki anlatırım. Şimdi bir örnek vererek dersi bitirelim.

Not: Denkleminiz yüksek dereceli ise herhangi bir noktadan başlayarak y=0 yapan değerlerden birini bulun. Sonra bulduğunuz bu değerin sağından veya solundan bir değer seçerek yeni bir tablo ile diğer y=0 yapan değerinizi bulun. Sağından mı solundan mı seçeyim gibi ikilemde kalırsanız denkleminizin kabataslak eğrisini çizmeniz işinizi kolaylaştıracaktır.

Örnek

Eğrisini örnek olarak verdiğimiz denklemi çözelim.
f(x)=3x2+12x+7
f ı(x)=6x+12
x1=4 (Bu değeri rastgele seçiyoruz. Tabi y=0’a yakın tahmini değerler vermek süreci kısaltacaktır.
İlk satırı birlikte dolduralım.
f(4)=3*16+12*4+7=103
f ı(4)=6*4+12=36
4 – f(4)/ f ı(4) = 4 – 103/36 = 1,1389

xf(x)f ı(x)x – [ f(x) / f ı(x) ]
410336-1,1389

İkinci satıra geçtiğimizde başlangıç değerimiz x=1,1389 oldu.

xf(x)f ı(x)x – [ f(x) / f ı(x) ]
410336-1,1389
-1,1389

Süreci aynı şekilde devam ettirelim.

xf(x)f ı(x)x – [ f(x) / f ı(x) ]
410336-1,1389
-1,138924,558118,8334-0,1651
-0,16515,100611,0094-0,6284
-0,62840,64398,2296-0,7066
-0,70660,01877,7604-0,7090
-0,70900,0000

Çalışmamda virgülden sonraki 4 haneyi kullanarak 6. adımda y=0,0000 değerini yeterli bularak süreci tamamlıyorum. 1/1000 hassasiyet için virgülden sonra 3 hanenin sıfır olması yeterlidir. Burada daha hassas çıktı.
f(x)=0 yapan x değeri 1/10000 hassasiyetle -0,709’dur.

Denklem ikinci dereceden olduğu için çözüm kümesinde 2 değer vardır. Burada yöntemin mantığın anlatmak için bir tanesini bulup bıraktım.

İçindekiler

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Bu yazıya oy vermek ister misiniz?)
Loading...