Boyut Analizi ve Benzerlik

6 Haziran 2010 0 Yazar: Alıntı

Giriş

İTÜ Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi
Akışkanlar Mekaniği Ders Notları
Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Şafak Nur Ertürk
Çok az sayıdaki akış analitik yöntemlerle tam olarak çözülebildiğinden, akışkanlar mekaniğinin gelişimi deneysel sonuçlara bağlı kalmıştır. Gerçek problemlerin çözümü analiz ve deneylerin birlikte kullanılmasını gerektirir.Önce çözüm oluşturacak basit bir matematik model oluşturulur. Daha sonra denysel sonuçlar analitik sonuçların kontrolü için kullanılır. Ölçümlere dayanarak analizde gerekli ince ayarlar yapılır.

Ancak laboratuvarda yapılan deneysel çalışmalar hem çok zaman alır hem de pahalıdır. Bu nedenle en önemli hedef en az deneyle en çok bilgiyi toplamaktır. Boyutsal analiz bu hedefe ulaşmakta önemli bir araçtır.

 

Temel Kavramlar

Fizik kanunları seçilen birim sisteminden bağımsızdır.

SistemKütle MUzunluk LZaman tIsı Q
SIkgmsKelvin

Boyut analizinde temel birimleri sembolik olarak tanımlarız. M, L, T, Q, kütle, uzunluk, zaman ve sıcaklık. Köşeli parantez, verilen bir büyüklüğün boyutunun gösterilmesi için kullanılır.
Örnek:

[µ] =
M
LT
,
SI =
kg
ms

Bağımsız Boyutlar

Yukarıdaki dört boyut bağımsız boyut olarak tanımlanır. Mekanik sistemler için bu dört bağımsız boyut bütün boyutlu büyüklükleri tanımlamak için yeterlidir. Tüm denklemler bu kurallara uymaz.

Boyutsal Homojenlik

Temel fizik kurallarından çıkarılan her denklem boyutsal homojenliğe sahiptir. Verilen denkleme aşina olunmasa bile fiziksel büyüklüklerin arasındaki ilişki ve tutarlılığı boyut analizi ile görebiliriz.

Buckingham Π Teoremi

Bağımlı parametrenin n-1 tane bağımsız parametrenin fonksiyonu olduğu fiziksel problemlerde, değişkenler arasındaki ilişkiyi şu şekilde gösterebiliriz:

q1 = f(q2,q3,…,qn)

Matematiksel olarak aynı ilişkiyi aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

g(q1,q2,…,qn)=0

Bir küre üzerine tekiyen sürüklenme kuvveti için

F = f(D,V,ρ,μ) ya da g(F,D,V,ρ,μ) = 0

Buckingham Pi teoremine göre n sayıdaki parametre arasındaki g ilişkisi mevcutsa, n sayıdaki parametre n-m sayıdaki bağımsız boyutsuz oran şeklinde gruplanabilir.

G(Π12,…,Πn-m) = 0

m sayısı genellikle (ancak her zaman değil) tüm parametrelerin boyutlarını belirlemek için kullanılan minimum bağımsız boyut sayısıdır.

(1915) verilen fiziksel problem için bağımsız boyutsuz grupların sayısının toplam değişken sayısından az olduğu ispatlandı. Tanım olarak BG değişkenlerin cebirsel bir kombinasyonudur.

Kural dışı boyutsuz gruplara rastlanabilir. Eğer problem sadece M, L, ve T (3 bağımsız boyut) içeriyorsa n=3. Eğer sıcaklık da varsa n=4 olur. İndis metodu ile Buckingham bu boyutsuz grupların elde edilişini çıkarmıştır. (Taylor)

Genel Boyutsuz (Π) Grupların Bulunması

Boyutsuz grupların belirlenmesinde kullanılan yönteme bakılmaksızın ilk iş bağımsız olarak, verilen akışı etkileyen tüm parametreleri listelemektir.

1. Tüm parametreleri listele. (n parametre sayısı olsun.) Eğer tüm önemli parametreler dahil edilmezse, bir bağıntı elde edilir, ancak bu bağıntı tüm hikayeyi anlatmaya yetmez. Eğer olayın fiziğini etkilemeyen parametreler kullanılırsa, ya boyutsal analiz bu parametrelerin gereksiz olduğunu gösterecektir, ya da deneyler elde edilen bir veya birden fazla boyutsuz grubun aslında önemli olmadığını gösterecektir.

2. Ana boyutları seç. Örneğin MLt veya FLt .

3. Tüm parametrelerin boyutlarını ana boyutlar cinsinden listele. (r ana boyut sayısı olsun) Ya kuvvet (F) ya da kütle (M) ana boyut olarak seçilmelidir.

4. Listedeki parametreler arasından ana boyutların sayısı r’ye eşit sayıda ve tüm ana boyutları kapsayan parametreleri seç. İki parametre sadece üstel bir fonksiyonla ayrılan birbirinin aynı boyuta sahip olamaz (örneğin uzunluk (L) ve bir alanin atalet momentini (L4) tekrar eden parametreler olarak seçemezsiniz.) Seçilen tekrar eden parametreler elde edilen tüm boyutsuz gruplarda görülebilir; dolayısıyla bağımlı parametreyi seçilenler arasına dahil etmeyin.

5. Madde 4’te seçilen parametreleri diğer parametrelerle sırasıyla birleştirerek boyutsuz grupları oluşturmak için boyut denklemlerini oluşturunuz..(n-m sayıda denklem olacaktır) Boyut denklemlerini çözerek n-m sayıdaki boyutsuz grubu bulunuz.

6. Elde edilen herbir grubun boyutsuz olup olmadığını kontrol ediniz. Başlangıçta kütle ana boyut olarak seçildiyse, grupların kontrolü sırasında kuvveti ana boyut olarak kullanmak akıllıca olacaktır.

Akışkanlar Mekaniğinde Önemli Boyutsuz Gruplar

Akışkanlar mekaniğinde gözönüne alınan kuvvetler, atalet, viskozite, basınç, yerçekimi, yüzey gerilmesi, ve sıkıştırılabilirlikle ilgili kuvvetlerdir. Herhangi iki kuvvetin birbirine oranı boyutsuz olacaktır.

Atalet Kuvveti = ma = (ρL3)(V2/L) = ρV2L2

Viskoz kuvvet = τA = µ
du
Aµ
V
L2 = µVL
dyL

Basınç kuvveti = (Δp)A ∝ (Δp)L2

Yerçekimi kuvveti = mg ∝ gρL3

Yüzey gerilmesi kuvveti = σL

Sıkıştırılabilirlik kuvveti = EυA ∝ EυL2

Atalet kuvvetleri birçok akışkanlar mekaniği problemi için onemlidir. Atalet kuvvetinin yukarıda siralanan diğer kuvvetlere oranı beş temel boyutsuz grubu oluşturur.

Reynolds sayısı atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranıdır. Reynolds sayısı büyüdükçe akış türbülanslı hale gelir. Atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranının küçük olduğu durumlarda akış laminerdir.

Re =ρVL=VL
µυ

Aerodinamikte ve diğer model deneylerinde basınç verilerini boyutsuz bir formda vermek daha uygundur. Euler sayısı basınç kuvvetlerinin atalet kuvvetlerine oranıdır ve basınç katsayısı Cpolarak da gösterilir. (kavitasyon sayısı Ca)

Eu =Δp
1ρV2
2

Atalet kuvvetlerinin yerçekimi kuvvetine oranı Froude sayısı olarak adlandırılır ve serbest yüzey etkisinin mevcut olduğu akışlar için önemlidir.Froude sayısı birden küçükse kritikaltı akış, birden büyükse kritiküstü akış sözkonusudur.

Fr =V
(gL)1/2

Weber sayısı, atalet kuvvetlerinin yüzey gerilimine oranıdır.

We =ρV2L
σ

Mach sayısı atalet kuvvetlerinin sıkıştırılabilirlik nedeniyle oluşan kuvvetlere oranıdır. Akışlardaki sıkıştırılabilirlik özelliğini temsil eder.

M =V=V=V
c(dp/dρ)1/2
(Eυ/ρ)1/2

veya

M2 =
ρV2L2
EυL2

V akış hızı ve c ses hızıdır. Sıkıştırılamaz akışlar için, c=∞ ve M=0 değerini alır.

Akış Benzerliği ve Model Çalışmaları

Bir model deneyinin yararlı olabilmesi için elde edilen verilerin tam ölçekli prototipinde mevcut kuvvetlere, momentlere ve dinamik yüklere dönüştürülebilmesi gerekir. Model ve prototip akışlarının benzerliğinden emin olabilmek için hangi şartlar sağlanmalıdır?

• Model ve prototip geometrik benzer olmalıdır.

• Model ve prototip akışlar kinematik benzer olmalıdır. Kinematik benzer akışlarda geometrik benzerlik şartı da sağlanır.

• İki akışa ait kuvvet dağılımlarında kuvvetler paralel ise ve büyüklükleri sabit bit ölçek faktörü ile ilişkilendirilebiliyorsa, akışlar dinamik benzerliğe sahiptirler. İki akışın dinamik olarak benzer olabilmesi için geometrik ve kinematik olarak benzer olması gerekir.

Model ve prototip akış arasında dinamik benzerliğin olabilmesi için gerekn şartlar nelerdir?

Bir akışa ait temel boyutsuz grupları bulabilmek için Buckingham Pi teoremi kullanılabilir. Geometrik benzer iki akış arasinda dinamik benzerliği sağlayabilmek için bu boyutsuz gruplarin biri hariç tümü model için de çoğaltılabilmelidir.

Direnç (sürüklenme) kuvveti

F=f(D,V,ρ,μ)

Buckingham Pi teoremi ile aşağıdaki ilişkiyi bulmuştuk;

F= f1ρVD
ρV2D2
μ

Boyutsuz grupların aynı zamanda kuvvetler arasındaki oran olarak kabul edilebileceğini görmüştük. Öyleyse bir küre atrafındaki model ve prototip akışları (geometrik benzer) değerlendirirken, bu akışların dinamik olarak da benzer olabilmeleri için şu eşitlikleri gerçeklemeleri gerekir:

ρVD
μ
model =
ρVD
μ
prototip

Remodel=Reprototip

Fmodel =Fprototip
ρV2D2
ρV2D2

Akışkanın cisim üzerine etkittirdiği kuvvet model ve prototip için aynı olmasa da, boyutsuz değerler aynıdır. Model deneyinde Re sayısının değeri korunmak kaydıyla ayri bir akışkan kullanılabilir. Deneysel açıdan kolaylık sağlamak için model rüzgar tünelinde test edilebilir. Elde edilen sonuçlar su içindeki direnci hesaplamada kullanılır.

İçindekiler